Тема уроку: Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень (2 уроки)

Узагальнююче повторення

У 9 класі ми навчилися за допомогою графіка функції y = f (x) будувати графіки функцій

y = f (x) + b,

y = f (x + a),

y = kf (x).

Нагадаємо правила, які дозволяють виконати такі побудови.

Графік функції y = f (x) + b можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка функції y = f (x) на b одиниць угору, якщо b > 0, і на –b одиниць униз, якщо b < 0.

На рисунках 23, 24 показано, як працює це правило для побудови графіків функцій y = x2 – 4 і 

Узагальнююче повторення

Графік функції y = f (x + a) можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка функції y = f (x) на a одиниць уліво, якщо a > 0, і на –a одиниць управо, якщо a < 0.

На рисунках 25, 26 показано, як працює це правило для побудови графіків функцій y = (x – 2)2 і 

Узагальнююче повторення

Графік функції y = kf (x) можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції y = f (x) на точку з тією самою абсцисою і ординатою, помноженою на k.

На рисунках 27, 28, 29 показано, як працює це правило для побудови графіків функцій:

Кажуть, що графік функції y = kf (x) отримано з графіка функції y = f (x) у результаті розтягу в k разів від осі абсцис, якщо k > 1, або в результаті стиску в 1/k разів до осі абсцис, якщо 0 < k < 1. 

Перетворення графіків функції

Покажемо, як можна побудувати графік функції y = f (kx), якщо відомо графік функції y = f (x).

Розглянемо випадок, коли k > 0. Якщо точка (x0; y0) належить графіку функції y = f (x), то точка належить графіку функції y = f (kx).

Отже, кожній точці (x0; y0) графіка функції y = f (x) відповідає єдина точка графіка функції y = f (kx).

Аналогічно можна показати, що кожна точка (x1; y1) графіка функції y = f (kx) є відповідною єдиній точці (kx1; y1) графіка функції y = f (x).

Тому графік функції y = f (kx), де k > 0, можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції y = f (x) на точку з тією самою ординатою і абсцисою, поділеною на k. 

Приклад

На рисунку 30 показано, як працює це правило для побудови графіків функцій:

Говорять, що графік функції y = f (kx) отримано з графіка функції y = f (x) у результаті стиску в k разів до осі ординат, якщо k > 1, або в результаті розтягу в 1/k разів від осі ординат, якщо 0 < k < 1. 

Перетворення графіків

Покажемо, як побудувати графік функції y = f (–x), якщо відомо графік функції y = f (x). Зазначимо, що коли точка (x0; y0) належить графіку функції y = f (x), то точка (–x0; y0) належить графіку функції y = f (–x). Дійсно, f (–(–x0)) = f (x0) = y0. Тоді всі точки графіка функції y = f (–x) можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції y = f (x) на точку, симетричну їй відносно осі ординат, тобто відобразивши графік функції y = f (x) симетрично відносно осі ординат. 

Перетворення графіків

Приклад 1

Приклад 2

ІІ спосіб розв'язання

Первинне закріплення вивченого матеріалу

• Як можна отримати графік функції y = f (x) + b, використовуючи графік функції y = f (x)?

• Як можна отримати графік функції y = f (x + a), використовуючи графік функції y = f (x)?

• Як можна отримати графік функції y = kf (x), використовуючи графік функції y = f (x)?

• Як можна отримати графік функції y = f (kx), де k ≠ 0, використовуючи графік функції y = f (x)?

Тренувальні вправи

144.° Графік якої функції отримаємо, якщо графік функції y = x2 паралельно перенесемо:

на 5 одиниць угору;

на 8 одиниць управо;

на 10 одиниць униз;

на 6 одиниць уліво;

на 3 одиниці вправо і на 2 одиниці вниз;

на 1 одиницю вліво і на 1 одиницю вгору?

Тренувальні вправи

Тренувальні вправи

Тренувальні вправи

Робота в парах (з коментуванням)

Самостійне виконання вправи

Складання алгоритму побудови графіка функції

Закріплення вивченого матеріалу. Робота учнів біля дошки

Як побудувати графіки функцій y = f (|x|) і y =|f(x)|, якщо відомо графік функції y = f (x) ?

Як побудувати графіки функцій y = f (|x|) і y =|f(x)|, якщо відомо графік функції y = f (x) ? 

Вправи

Тренувальні вправи

Домашнє завдання (розподілити самостійно на 2 уроки)

• Читати § 5

• Вчити алгоритми перетворення графіків функції

• Готувати відповіді на контрольні запитання 1-4 ст. 46

• Виконати вправи №№ 145, 146, 148, 150, 152, 155, 158, 160

• Опрацювати приклади з поглибленого рівня рубрики “Коли зроблено уроки” (диференційовано)