Кучевський М.І. Задачі Фермі// Математика в школах України.
Позакласна робота – 2011-№1
Е. Фермі (29.09.1901 Рим – 28.11.1954 Чикаго) –один із засновників ядерної і нейтронної фізики. У 1938 році отримав Нобелівську премію по фізиці за доведення існування нових радіоактивних елементів, одержаних при бомбардуванні нейтронами ядра, і пов'язане з цим відкриття ядерних реакцій під дією повільних нейтронів. Інтерес до математики проявився в нього ще в ранньому дитинстві. Розповідали, що в десятирічному віці він зумів зрозуміти чому коло описується рівнянням  , а в тринадцять років «розібрався» з проективною геометрією. Йому досить було прочитати математичну книгу один раз, щоб досконало її знати. Цей інтерес зберігався протягом усього його життя. Фермі належить вислів: «Людина знає фізику, якщо вона вміє розв'язувати задачі» Особливо йому подобалися задачі - питання на знаходження значення різних, часто досить дивних, величин. Ось кілька питань такого характеру.
- Чи можуть китайці накрити Україну своїми шапками?
- Що важче всі слони на Землі, чи вся мошкара?
- Скільки щаблів потрібно виготовити кожному жителю України, щоб збудувати драбину від Землі до Місяця?
Такі задачі називають питаннями Фермі (навіть якщо він не був їх автором). Щоб знайти на них відповіді потрібно відшукати відповідні дані і виконати обчислення. Проте часто такі дані знайти неможливо, бо їх просто не існує. Тоді на допомогу приходить здоровий глузд і вміння оцінити величину.
Наведемо приклади розв'язування питань Фермі.
1. Чи можуть китайці накрити Україну своїми шапками?
Розв'язання
В середньому діаметр шапки китайця 40 см., тому вона накриє площу:  .Населення Китаю становить . чоловік, то площа, яку вони можуть накрити своїми шапками буде :  . Так як площа України  тис.  ,
то китайці не зможуть накрити Україну своїми шапками. Вони навіть не зможуть накрити Решетилівський район, площа якого 
Відповідь: ні
2. Що важче всі слони на Землі, чи вся мошкара?
Розв'язання
На земній кулі є понад пів мільйона слонів. Кожний слон важить в середньому 4т, тому маса всіх слонів приблизно рівна 
Середня кількість мошкари становить  особин, кожна з яких має
масу біля  Отже маса мошкари становить приблизно  . Так як  , то мошкара важить більше.
Відповідь: мошкара.
3.Скільки щаблів потрібно виготовити кожному жителю України, щоб збудувати драбину від Землі до Місяця?
Розв'язання
Місяць знаходиться від Землі на відстані  Відстань між щаблями драбини приблизно рівна  . Отже кількість щаблів буде рівною  . Так як населення України становить приблизно  , то кожний житель повинен виготовити  щаблів.
Відповідь: 28.
4.Якй радіус мала б Земна куля якби всі ядра атомів, з яких вона
складається, розташувалися впритул одне до одного?
Розв'язання
Маса Земної кулі рівна  , а середня густина речовини ядра -  .
В такому разі об'єм Земної кулі був би рівний  .
Значить   , тому 
Відповідь: 200м.
5. Уявіть, що кандидат на пост Президента України схоче потиснути руку кожному виборцю. Скільки часу потрібно буде йому для цього? Чи встигне він це зробити за період виборчого процесу?
Розв'язання
В Україні зареєстровано 36,3 млн. виборців. Уявимо, що виборці вишикувалися в одну колону і проходять повз кандидата. В такому разі для рукостискання вистачить однієї секунди, а щоб потиснути руку кожному виборцю потрібно буде 36300000 секунд, або 36300000:3600 ≈10080 (год.)
Якщо кандидат буде займатися процедурою рукостискання протягом восьми годин кожного дня, то йому знадобиться 10080:8=1260 днів. Навіть якби він тиснув руки безперервно протягом доби, то для цього потрібно було б 420 днів, а згідно закону «Про вибори Президента України» передвиборча кампанія триває 90 днів.
Відповідь: не встигне.
6. Уявіть, що нам вдалося позначити всі молекули у ложці води, вилити цю воду в Тихий океан і ретельно перемішати, щоб позначені молекули рівномірно розподілились у всьому об'ємі води, а потім у довільному місці океану набрати літрову банку води. Чи є в нас шанс «зловити» в банку хоча б одну позначену молекулу?
Розв'язання
Ложка містить від 15 до 20 грамів води. Візьмемо середнє значення – 18 грам, що відповідає одному молю води. В одному молі будь якої речовини знаходиться однакове число молекул, а саме :  (число Авогадро).
В Тихому океані знаходиться біля 710 мільйонів кубічних кілометрів води, або
Значить при рівномірному розмішуванні на літру води припадає:
 позначених молекул.
Відповідь: є.
7. Скільки пудів солі з'їдає пересічний українець протягом життя? Чи поміститься вона у двохсотлітрову бочку?
Розв'язання
Кухонна сіль відіграє важливу роль в харчуванні. З неї в організмі людини утворюється соляна кислота, яка входить до складу шлункового соку, а він сприяє перетравленню їжі і знищує бактерії, які поступають в організм людини з їжею і слиною. Добова потреба солі становить 10 – 16 грам в залежності від пори року і виду діяльності людини. Візьмемо середнє значення - 13 грам. Середній вік життя українця становить 70 років, тому за своє життя він споживає приблизно 13·365·70=332150(г.) ≈330(кг.). Так як пуд становить ≈16,38 кг., то протягом життя українець з'їдає: 330:16,38 ≈20 пудів солі.
Густина меленої солі -  , а об'єм бочки -  , то в бочку можна помістити:  , отже однієї бочки не вистачить.
Відповідь: ≈20 пудів, ні.
8. Скільки людей було потрібно, щоб утворити 21 січня 1990 року живий ланцюг єднання? Який відсоток жителів України зможе з'єднати живим ланцюгом крайню східну і крайню західну точки України?
Розв'язання
Живим ланцюгом, взявшись за руки на автошляху Київ – Львів, українці з'єднали 21 січня 1990 року ці два міста. За офіційними даними в акції взяло участь 450 000 людей, а за неофіційними від 3 до 5 мільйонів. Підрахуємо мінімальну кількість людей необхідних для утворення ланцюга єднання.
Довжина автошляху Київ – Львів – 544 кілометри. Взявшись за руки люди будуть знаходитись один від одного на середній відстані біля 120 сантиметрів, тому для утворення ланцюга потрібно не менше 544 000: 1,2 ≈ 453 000 чоловік.
Очевидно, що керуючись політичною доцільністю, одна сторона применшила кількість учасників, а інша значно перебільшила.
Відстань від крайньої східної точки України (с. Червона Зірка - 40º13′ сх.д.) до крайньої західної (с. Соломонове - 22º09′ сх.д.), по автошляхах, становить приблизно 1700 км. Значить для утворення відповідного ланцюга потрібно не менше ніж 1 700 000:1 2 ≈1 420 000 людей, що становить менше 1 700 000:1,2·100%:46 000 000 ≈3,1%.
Відповідь: більше 453000; менше 3,1%.
9. Скільки часу знадобиться, щоб написати всі цифри найбільшого, на даний час, простого числа? Яка довжина запису цього числа у десятковій системі числення?
Розв'язання
Завдяки алгоритму перевірки на простоту чисел Мерсена, математиками каліфорнійського університету 28.08.08 було знайдено найбільше, на даний час, просте число:  . Журнал « Time» вніс це відкриття у список найвидатніших винаходів 2008 року. Підрахуємо кількість цифр – n цього числа. п=
Якщо одну цифру будемо записувати протягом пів секунди, то для запису числа знадобиться  безперервної роботи, або 225 восьмигодинних робочих днів.
Будемо вважати, що кожна цифра займає 2 мм., то довжина запису цього числа буде 
Відповідь: ≈1800год.; ≈26 км.
10.Скільки картоплин було вирощено на день для кожного жителя України у 2009 році?
Розв'язання
За статистичними даними в господарствах всіх форм власності у 2009 році було вирощено 19,7 млн. т. картоплі на площі 1,44 млн. га. Значить на кожного жителя, враховуючи немовлят і дітей, припадає більше ніж 19700000000:46000000 ≈430 (кг.) на рік.
Будемо вважати середню масу картоплини рівною 120г. Тоді на кожного українця припадає щоденно 430000:365:120 ≈10 картоплин. Чому ж тоді в Україну завозять картоплю з Єгипту і інших країн? На це питання відповідь невідома.
Відповідь: 10 картоплин.
На нашу думку вправи такого характеру корисні для формування математичної грамотності учнів. Вони приносять значно більше користі ніж вправи на перетворення та обчислення значень виразів. Адже у реальному житті переважній більшості випускників не знадобиться застосовувати «псалтир тригонометричних формул» (Ж. Дьєдоне), чи хитромудрі методи розв'язування рівнянь, а от оцінювати, рахувати, округлювати, підбирати наближений результат, оцінювати кількісні характеристики реальних явищ, прогнозувати числові оцінки подій – прийдеться на кожному кроці. Вправи такого типу сприяють формуванню операційної культури обчислень яка взаємозв'язана з математичною грамотністю. Слід відзначити, що в європейських країнах операційна культура учнів вважається основною складовою математичної грамотності.[2]
Пропоную ще кілька задач, які найбільше зацікавили моїх учнів.
1. Уявіть, що всі жителі України ,взявшись за руки, утворили ланцюг єднання. Яка буде його довжина? Порівняйте довжину ланцюга з довжиною екватора.
2. Якої висоти буде бюджет України в одно гривневих купюрах? Скільки гектарів можна накрити такою кількістю купюр? Яка маса паперу потрібна для їх виготовлення?
3. Яку площу мають столи, що знаходяться в помешканнях українців?
4. Уявіть, що атоми , які містяться в  золота, нанизали на нитку і отримане намисто порівну розділили між усіма жінками України. Якої довжини намисто одержить кожна жінка?
5. Скільки атомних ядер, можна розмістити впритул на відрізку довжиною
1 мм.?
6. Скільки води випиває людина протягом життя? Чи вистачить її залізничної цистерни?
6. Оцініть скільки кілометрів ви пройшли за прожиті роки.
7. Скільки шпал лежить під рейками швидкісної магістралі Київ – Харків?
8. Уявіть, що кожному уболівальнику на Євро-2012, в якості сувеніра, вручили травинку з футбольного поля харківського стадіону «Металіст». Скільком уболівальникам вистачить сувенірів?
9. Оцініть кількість кристаликів в кілограмі цукру.
10. Скільки учнів нашої школи можуть поміститися в кабінеті математики, якщо з нього винести меблі?
11. Візьміть газету і знайдіть в ній дані про її тираж. Обчисліть площу яку можна накрити тиражем газети.
12. З несправного крана кожної секунди капає крапля води. Чи наповнить вода яка витече з крана протягом місяця ванну?
13. Уявіть, що молекула води збільшилась до розміру крапки. Якими при такому збільшенні буде розмір вишні і товщина волосини?
14.Візьміть аркуш паперу формату А4 і розріжте його пополам. Кожну з отриманих частин розріжте знов пополам і так далі. На першому «етапі» ви отримаєте дві рівні частини, на другому – чотири, на третьому – вісім і так далі. Уявіть, що після тридцятого «етапу» всі одержані рівні частини ви склали одну на одну. Якою буде висота отриманого паперового стосика.
15. Скільки потрібно картоплин, щоб засадити ділянку площею 1 га.?
16. За скільки днів ви зможете пройти шлях від крайньої східної точки України до крайньої західної? А обійти Україну по периметру ?
Література
1. Енохович А С. Справочник по физике и технике. – М.:Просвещение,1989. – 223с.
2.Dobrowolska M. Matematyka 3. – Gdańsk: Wydawnictwo oświtowe, 2001.- 252c.
3. Понтекорво Б. Юность Энрико Ферми // Квант. – 1974. - №8.
| 
